# 五、證明:在過程 PERMUTE-BY-SORTING的數組 P中，所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。

## 文心一言：

證明：

在過程PERMUTE-BY-SORTING中，對于輸入數組P中的每個元素，其出現次數為1，因此對于每個元素，在排序后的數組中，它出現的位置是唯一的。

假設在排序后的數組中，有兩個元素a和b，它們在原始數組P中的位置分別為i和j，且i eq j。由于排序是穩定的，因此在排序后的數組中，a和b仍然會分別出現在它們在原始數組中的位置。因此，如果存在兩個不同的元素在排序后的數組中具有相同的值，則它們在原始數組中的位置必定不同。

由于在原始數組中，每個元素的出現次數為1，因此在排序后的數組中，每個元素在排序后出現的次數也為1。因此，如果兩個不同的元素在排序后的數組中具有相同的值，則在原始數組中它們的出現位置也必定不同。

因此，在過程PERMUTE-BY-SORTING中，對于輸入數組P中的每個元素，在排序后的數組中，它出現的位置是唯一的。由于每個元素的出現次數為1，因此所有元素都唯一的概率至少是1-1/n。


## 訊飛星火：

【詳解】

設$P_{i}$為排列$\left\{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}\right\}$中，所有元素都唯一的概率。

當$n{=}2^{k}$時，在數組$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中，任取兩個不同的元素$P_{i}{、}P_{j}$,則由乘法原理知，其組合數為$C_{n}^{2}{=}C_{2k2}{=}\dfrac{2k(2k{-}1)}{2}{=}k(2k{-}1)$.

若這兩個元素在數組$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中不唯一，則它們必有公共元素$P_{m}$.從而，這兩個元素的全排列個數為$A_{m}^{2}$.

于是，由加法原理得$\sum\limits_{i{< }j{< }}^{n}{(i{< }j)}{=}\sum\limits_{i{< }j{< }}^{2k}{(i{< }j)}{=}\sum\limits_{i{=}12k}{C_{2k}^{i{-}1}{\cdot }(i{-}1){=}\sum\limits_{i{=}12k}{(i{-}1){\cdot }C_{2k}^{i{-}1}}}$

${=}(0{+}1{+}2{+}\cdots {+}2k{-}1){\cdot }\sum\limits_{i{=}1}^{2k}{C_{2ki{-}1}{=}(0{+}1{+}2{+}\cdots {+}2k{-}1)}{\cdot }\dfrac{1}{2}{\cdot }(1{+}2k{-}1){\cdot }(2k{-}1)!{=}(2k{-}1)(2k)!$.

所以，$P_{i}{、}P_{j}$不唯一的概率為$\dfrac{(2k{-}1)(2k)!}{k(2k{-}1)}{=}(2k{-}1)!$.

因此，$P_{i}$為排列$\left\{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}\right\}$中，所有元素都唯一的概率為$1{-}[(n{-}1)!]$.

當$n{=}3^{t}$時，在數組$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中，任取三個不同的元素$P_{i}{、}P_{j}{、}P_{r}$,則由乘法原理知，其組合數為$C_{\mathrm{3}^{\mathrm{t}}3}{=}3^{\mathrm{t}}$.

若這三個元素在數組$P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{n}$中不唯一，則它們必有公共元素$P_{\mu}$.從而，這三個元素的全排列個數為$A_{\mu}^{3}$.于是，由加法原理得$\sum\limits_{\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }}^{\mathrm{r}}{(\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }\mathrm{r})}{=}\sum\limits_{\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }}^{\mathrm{3\mathrm{t}}}{(\mathrm{i}{< }\mathrm{j}{< }\mathrm{r})}{=}\sum\limits_{\mathrm{i}{=}1}^{\mathrm{3\mathrm{t}}}{\mathrm{C}_{\mathrm{3}^{\mathrm{t}}\mathrm{i{-}1}}{\cdot }(\mathrm{i}{-}\mathrm{1}){=}\sum\limits_{\mathrm{i}{=}1}^{\mathrm{3\mathrm{t}}}{\mathrm{C}_{\mathrm{3}^{\mathrm{t}}\mathrm{i{-}1}}}{\cdot }\dfrac{(\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{-}\mathrm{i})(\mathrm{3\mathrm{t}}{-}\mathrm{i})}{2}{=}\dfrac{(\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{-}\mathrm{1})(\mathrm{3\mathrm{t}}{-}\mathrm{2})\cdots (\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{-}\mathrm{\theta})}{\prod_{\mathrm{t}{=}1\frac{\mathrm{t}}{3}}(\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{+}\mathrm{\theta})}$

其中，$\theta{=}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}{+\cdots +}3^{\frac{\mathrm{t}}{3}}$為小于或等于$\theta$的正整數。

所以，$P_{\mu}{、}P_{j}{、}P_{r}$不唯一的概率為$\dfrac{\dfrac{(\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{-}\mathrm{1})(\mathrm{3\mathrm{t}}{-}\mathrm{2})\cdots (\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{-}\mathrm{\theta})}{\prod_{\mathrm{t}{=}1\frac{\mathrm{t}}{3}}(\mathrm{3}^{\mathrm{t}}{+}\mathrm{\theta})}.$.

因此，$P_{\mu}$為排列$\left\{ P_{1}{,}P_{2}{,\cdots ,}P_{\infty}\right\}$中，所有元素都唯一的概率為$1{-}[\prod_{\pi{=}1}^{\frac{\pi}{3}}(\pi{+}3^{\frac{\pi}{3}})]$.

綜上所述，結論得證。

見解析



## 華為盤古：

在過程 PERMUTE-BY-SORTING 的數組 P 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。

這是因為在 PERMUTE-BY-SORTING 中，每個操作都會產生一個唯一的輸出，并且數組中元素的值是有序的。這意味著每個操作都會在數組中找到一個位置，使得它的輸入等于該位置的值。因此，我們可以將數組看作一個線性表，其中每個元素代表操作 $f(x)$，它的輸出是 $f(x)$ 到 $f(x)$ 的線性組合。

對于數組中的任意一個元素 $a$，它的值是唯一的，因為它在數組中的位置是唯一的。同樣地，對于數組中的任意一個操作 $b$，它的輸出也是唯一的，因為它在數組中的位置是唯一的。因此，我們可以證明，在 PERMUTE-BY-SORTING 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。


## 360智腦：

假設P是隨機排序后得到的數組,其中每個元素的值都是唯一的。首先考慮一個不重復的有序數組,這個數組只有一個。對于這種情況,我們可以得到以下結論: 
 
如果P中的所有元素都是唯一的,那么P就是由[0, n]中的整數組成的排列。 
 
因此,如果P中沒有重復的元素,那么這個數組一定是一個排列。因為排列的定義就是可以任意交換各個元素的位置而不改變其順序。所以,P中所有元素都唯一的概率至少是1 - 1/n。


## chatglm：

過程 PERMUTE-BY-SORTING 的基本思想是，首先將輸入數組 P 按升序排列，然后對每一對相鄰的元素進行交換，直到所有元素都唯一為止。

我們可以用 U(n) 表示所有不重復元素的集合，V(n) 表示所有重復元素的集合。假設數組 P 中所有元素都唯一，那么 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。我們的目標是證明 U(n) ⊆ P。

首先，我們證明 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。對于任意不重復元素 a，在數組 P 中一定存在一個位置 i，使得 a 在第 i 個位置。由于 P 是升序排列的，我們可以將 a 與第 i+1 個元素進行比較，如果它們相等，則交換它們的位置，否則不交換。重復這個過程，直到 a 與第 n 個元素不相等。這樣，a 在第 i 個位置時，與第 i+1 個元素不相等的概率是 1/n。因此，在數組 P 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。

接下來，我們證明 V(n) ⊆ P。對于任意重復元素 a，在數組 P 中，它一定出現在某個位置 i 上。由于 P 是升序排列的，我們可以將 a 與第 i+1 個元素進行比較，如果它們相等，則交換它們的位置，否則不交換。這樣，a 出現在第 i 個位置的概率是 1/n。因此，在數組 P 中，所有元素都唯一的概率至少是 1-1/n。

綜上所述，我們證明了 U(n) ⊆ P ⊆ V(n)。由于 U(n) ⊆ P 和 V(n) ⊆ P，因此 U(n) ⊆ P 的概率至少是 1-1/n。


## chatgpt：

假設數組P的長度為n，后面的i指數組P的第i個元素。

在過程PERMUTE-BY-SORTING中，假設第i次迭代中第j個元素與第k個元素進行了交換，其中j < k。

由于每對元素交換的概率是1/n，因此在第i次迭代中，任意一對（j，k）被交換的概率為1/n。
因此，在第i次迭代中，交換發生的任何一對元素（j，k）都是n(n-1)/2個可能交換中的一個，因此，在對i從1到n-1循環迭代期間，P中任意兩個位置的元素都以相等的概率交換，因為每一次交換都是相互獨立的。

所以我們可以得出結論：對于一個長度為n的數組P，經過PERMUTE-BY-SORTING操作使得數組P中所有元素排列的概率至少為1-1/n。

證明如下：

對于從P的第2個元素開始到最后一個，讓Pi通過與Pj交換 (j >= i)，得到了n-1個排列。

對于每個位置i，可以將Pi設為數組P中的任意元素，則所有n!種情況中只有一種情況是所有元素都唯一的。

而在PERMUTE-BY-SORTING操作中，對于每個位置i，Pi最多與Pn交換一次（即只要它不與Pn相同），因此，對于每個位置i，每對Pi和Pj（j > i）的交換共計發生O(1)次，因為一旦元素被交換，它們就不會再次交換。

因此，所有n!種可能的排列中，所有元素都唯一的排列數量是PERMUTE-BY-SORTING操作后的排列數量的較小值，即n!和每對Pi和Pj的交換次數的積的較小值。通過求解得出：

$$
Pr[\text{所有元素都唯一}] \geq 1 - \frac{1}{n!} \\
\geq 1 - \frac{1}{e} \\
\geq 1 - \frac{1}{n}
$$

因此，所有元素都唯一的概率至少是1-1/n，證畢。